Subunit+7-3

**Menyelesaikan Bagian Masalah/Memecahkan Masalah menjadi Sub-sub Masalah**
 * Sub-Unit 7.3**

**Pendahuluan** Subunit ini akan membahas tentang pemecahan masalah dengan cara menyelesaikan bagian masalah atau memecah masalah menjadi sub-sub masalah beserta contoh penyelesaiannya. Menyelesaikan bagian masalah atau memecah masalah menjadi sub-sub masalah merupakan salah satu dari pemecahan masalah matematika yang tidak rutin, sehingga perlu ada suatu teknik penyelesaian yang tepat. Penguasaan prinsip-prinsip dasar dalam pemecahan masalah harus benar-benar ditaati untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan memecah masalah menjadi sub-sub masalah.

**Objektif Sub-Unit** Setelah mempelajari materi pada subunit ini, diharapkan mahasiswa mempunyai kemampuan untuk: 1. Menggunakan teknik menyelesaikan bagian masalah untuk pemecahan masalah matematika.

**1.0 Teknik Menyelesaikan Bagian Masalah** Strategi pemecahan masalah dengan menyelesaikan bagian masalah atau memecah masalah menjadi sub-sub masalah ini dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah yang kompleks ke dalam sub-sub masalah secara berturut-turut. Masalah yang akan diselesaikan dipecah-pecah menjadi sub-sub masalah, sehingga cara menyelesaikannya melalui penyelesaian bagian masalah, kemudian bagian masalah yang telah terselesaikan merupakan penyelesaian antara dari penyelesaian masalah seluruhnya. Perhatikan contoh berikut:

**1.** **__Menyusun bangunan.__** Sekelompok siswa merencanakan membangun sebuah pyramid segitiga yang tingginya minimal 1,5 m dengan menggunakan kaleng silinder yang diameter alasnya berukuran sama. Setiap kaleng silinder ini akan ditempatkan di atasnya membentuk pyramid segitiga dan memiliki ketinggian 12 cm. Tentukan batas minimum banyaknya kaleng silinder yang dibutuhkan untuk membangun piramid segitiga tersebut! Untuk menyelesaikan masalah ini, perlu memecah masalah menjadi sub-sub masalah. Ketinggian piramid yang akan dibuat minimal 1,5 m, **langkah pertama** untuk mendapatkan angka minimum dari susunan kaleng dari pyramid dapat diperoleh dengan: (Tinggi minimum piramid ) : (tinggi tiap kaleng silinder) = 150 : 12 = 12,5. Sehingga banyaknya tumpukan kaleng yang dikehendaki = 13. **Langkah kedua**: masalah dijadikan beberapa sub masalah, yaitu: Sub masalah pertama, tumpukan kaleng hanya berisi 1 kaleng, sehingga ketinggian piramid hanya 12 cm. Sub masalah kedua dengan menambahkan 2 kaleng sebagai alas segitiga, sehingga tumpukan kaleng menjadi 2 tingkatan, karena kaleng tidak dijajar tetapi dibentuk menyerupai penampang piramid yang berbentuk segitiga. Dengan demikian banyaknya kaleng menjadi 3 kaleng dengan ketinggian piramid menjadi 2 x 12 = 24 cm. Sub masalah ketiga dengan menambahkan tumpukan kaleng sehingga menjadi 3 tingkatan, untuk itu diperlukan kaleng sebanyak 3 kaleng sebagai alas segitiga sehingga ukuran tinggi piramid menjadi 36 cm. Sub masalah keempat dengan menambahkan tumpukan kaleng sehingga menjadi 4 tingkatan, untuk itu diperlukan tambahan kaleng sebanyak 4 kaleng, sehingga ketinggian piramid menjadi 4 x 12 = 48 cm. Sub masalah kelima dengan menambahkan tumpukan kaleng sehingga menjadi 5 tingkatan, untuk itu diperlukan tambahan kaleng sebanyak 5 kaleng, sehingga ketinggian piramid menjadi 5 X 12 = 60 cm. Sub masalah keenam dengan menambahkan tumpukan kaleng sehingga menjadi 6 tingkatan, untuk itu diperlukan tambahan kaleng sebanyak 6 kaleng, sehingga ketinggian piramid menjadi 6 X 12 = 72 cm. Sub masalah ketujuh dengan menambahkan tumpukan kaleng sehingga menjadi 7 tingkatan, untuk itu diperlukan tambahan kaleng sebanyak 7 kaleng, sehingga ketinggian piramid menjadi 7 X 12 = 84 cm. Sub masalah kedelapan dengan menambahkan tumpukan kaleng sehinggga menjadi 8 tingkatan, untuk itu diperlukan tambahan kaleng sebanyak 8 kaleng, sehingga ketinggian piramid menjadi 8 X 12 = 96 cm. Sub masalah kesembilan dengan menambahkan tumpukan kaleng sehingga menjadi 9 tingkatan, untuk itu diperlukan tambahan kaleng sebanyak 9 kaleng, sehingga ketinggian piramid menjadi 9 X 12 = 108 cm. Sub masalah kesepuluh dengan menambahkan tumpukan kaleng sehingga menjadi 10 tingkatan, untuk itu diperlukan tambahan kaleng sebanyak 10 kaleng, sehingga ketinggian piramid menjadi 10 X 12 = 120 cm. Sub masalah kesebelas dengan menambahkan tumpukan kaleng sehingga menjadi 11 tingkatan, untuk itu diperlukan tambahan kaleng sebanyak 11 kaleng, sehingga ketinggian piramid menjadi 11 X 12 = 132 cm. Sub masalah keduabelas dengan menambahkan tumpukan kaleng sehingga menjadi 12 tingkatan, untuk itu diperlukan tambahan kaleng sebanyak 12 kaleng, sehingga ketinggian piramid menjadi 12 X 12 = 144 cm. Sub masalah ketigabelas dengan menambahkan tumpukan kaleng sehingga menjadi 13 tingkatan, untuk itu diperlukan tambahan kaleng sebanyak 13 kaleng, sehingga ketinggian piramid menjadi 13 X 12 = 156 cm. Dari penyelesaian sub-sub masalah tersebut mulai dari sub masalah pertama sampai dengan sub masalah ketigabelas, diperoleh ketinggian piramid 156 cm. Dengan demikian dengan menyusun kaleng menjadi 13 tingkatan, maka dicapai ketinggian minimum piramid mencapai 150 cm. Sebagai gambaran tumpukan kaleng yang terjadi dapat ditunjukkan pada gambar berikut;

Banyaknya kaleng yang menggambarkan sebuah piramid mulai dari 1 tingkatan sampai mencapai 4 tingkatan dapat ditunjukkan pada gambar berikut:



**Langkah ketiga**: mencari banyaknya kaleng yang diperlukan untuk menyusun piramid tersebut dilakukan dengan cara mengamati gambar yang dapat dibuat seperti di atas. Dari peragaan di atas, kita peroleh banyaknya kaleng yang tersusun menunjukkan suatu barisan bilangan 1, 3, 6, 10, … Oleh karena yang harus dicari banyaknya kaleng yang diperlukan untuk membangun piramid dengan 13 tingkatan, maka dithitung dengan menggunakan deret hitung sampai suku ke 13. Sehingga 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 + 45 + 55 + 66 + 78 + 91 = 455. Dengan demikian minimum banyaknya kaleng diperlukan adalah 455. **1.** **__Susunan Kelompok.__** Susunan bilangan genap dalam kelompok ditunjukkan seperti berikut: {2}, {4, 6}, { 8, 10, 12}, { 14, 16, 18, 20}, {22, 24, 26, 28, 30}, … Tentukan jumlah bilangan genap pada kelompok ke 20! Untuk menyelesaikan masalah ini, digunakan dengan cara memecah masalah menjadi sub-sub masalah, kemudian ditentukan penyelesaian antara dari sub-sub masalahnya, kemudian diambil suatu kesimpulan dari penyelesaian masalah yang dikehendaki. Kita mulai dengan mendapatkan bilangan pertama dan bilangan terakhir dari kelompok ke 20.



Bilangan pertama dalam kelompok ke 20 = (19 x 20) + 2 = 382 Bilangan pertama dalam kelompok ke 21 = (20 x 21) + 2 = 422 Bilangan-bilangan dalam kelompok ke 20 merupakan seluruh kemungkinan bilangan dari 382 sampai 420. Jumlah bilangan-bilangan dalam kelompok ke 20 = 382 + 384 + 386 + 388 + 390 + 392 + 394 + 396 + 398 + 400 + 402 + 404 + 406 + 408 + 410 + 412 + 414 + 416 + 418 + 420 = (382 + 420) + (384 + 418) + ( 386 + 416) + (388 + 414) + ( 390 + 412) + (392 + 410) + (394 + 408) + (396 + 406) + (398 + 404) + (400 + 402)  = 802 x 10 = 8020 Jadi jumlah bilangan dalam kelompok ke 20 adalah 8020. **__ @ __** **__Latihan 3.1__** 1. Dua orang pelari berlari mengelilingi lapangan. Pelari pertama mengelilingi lapangan 1 kali dengan waktu 3 menit, sedangkan pelari kedua mengelilingi lapangan 1 kali dengan waktu 2 menit. Jika mereka melakukan start bersama-sama, pada menit keberapa pelari kedua dapat melewati pelari pertama untuk kedua kalinya. 2. Diberikan dua bilangan, yaitu 2007 dan 7002. Lena memilih salah satu bilangan dan mengalikannya dengan 2211, sedangkan Andi memilih bilangan yang satu lagi dan mengalikannya dengan 1122. Jumlah dari kedua hasil perkalian adalah bilangan genap. Bilangan manakah yang dipilih Andi?

**__Rangkuman__** Salah satu strategi pemecahan masalah matematika adalah dengan cara menyelesaikan bagian masalah atau memecah masalah menjadi sub-sub bagian masalah, hal ini dapat dilakukan dengan membagi atau mengubah masalah menjadi lebih sederhana sehingga dapat dengan segera dipecahkan atau diselesaikan. Dengan menggunakan jawaban masalah bagian demi bagian akan dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah keseluruhan yang lebih rumit.

**__ F __** **__Petunjuk Jawaban Latihan__** **Latihan 3.1** 1. Untuk menyelesaikan masalah ini, ditentukan strategi pemecahan masalah dengan cara memecah masalah menjadi sub bagian masalah seperti berikut: Pelari pertama mengeliling lapangan pada putaran pertama selama 3 menit, putaran kedua = 2 x 3 = 6 menit. Pelari kedua mengeliling lapangan pada putaran pertama selama 2 menit, putaran kedua = 2 x 2 = 4 menit, putaran ketiga = 3 x 2 = 6 menit. Sehingga pada menit yang ke 6 pelari kedua melewati pelari pertamauntuk yang pertama kali.

Kemudian pelari pertama melanjutkan putaran yang ketiga = 3 x 3 = 9 menit; Putaran keempat = 4 x 3 = 12 menit; Pelari kedua melanjutkan putaran keempat = 4 x 2 = 8 menit, Putaran kelima = 5 x 2 = 10 menit; dan Putaran keenam = 6 x 2 = 12 menit. Saat kedua pelari sama-sama menempuh pada menit keduabelas itu pelari kedua melewati pelari pertama untuk yang kedua kalinya. Jadi pelari kedua melewati pelari pertama yang kedua kalinya saat waktu tempuh 12 menit.

2. Untuk menyelesaikan masalah ini, dilakukan pemecahan masalah menjadi bagian-bagian masalah.seperti berikut: Jumlah dua bilangan adalah genap jika dan hanya jika kedua bilangan sama-sama genap, atau sama-sama ganjil, sehingga hasil perkalian yang diperoleh Lena dan Andi seharusnya sama-sama genap atau ganjil. Jika Lema memilih 2007 untuk dikalikan dengan 2211, maka hasilnya ganjil. Andi memilih 7002 untuk dikalikan dengan 1122, maka hasilnya bilngan genap. Jumlah = ganjil + genap = ganjil (tak memenuhi). Tetapi jika jumlah dari bilangan ganjil + ganjil = genap; dengan demikian bilangan tersebut adalah 2007. Untuk itu harus kita cek kebenaran jawabannya: Milik Lena = 7002 x 2211 = genap Milik Andi = 2007 x 1122 = genap Jika dijumlahkan genap + genap = bilangan genap

**__ @ __** **__TES FORMATIF 3__** Untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi pemecahan masalah matematika sub unit 3, kerjakan tes formatif ini dengan memberikan tanda silang pada huruf di depan alternatif jawaban yang telah disediakan.

1. Bilangan prima kembar adalah pasangan dua bilangan prima yang mempunyai selisih 2. Berapakah banyak bilangan prima kembar antara 10 dan 100? Permasalahan tersebut di atas dapat diselesaikan dengan strategi heuristik sebagai berikut: A. Dugaan dan pengujian B. Menyisihkan kemungkinan C. Menentukan Pola Jawaban D. Menyelesaikan Bagian Masalah

2. Suatu tim dokter ahli bedah dapat melakukan operasi pada pasiennya dengan keberhasilan 65%. Bila operasi pertama gagal, tim dokter tersebut melakukan operasi kedua, tetapi dengan keberhasilan 20%. Setelah operasi kedua, maka tidak ada pasien yang dapat diselamatkan lagi. Berapakah banyak pasien yang dapat diselamatkan dari setiap 100 pasien yang dioperasi tim dokter tersebut? A. 65 orang B. 72 orang C. 80 orang D. 85 orang

3. Seorang tukang kayu mempunyai dua buah kayu gelondongan berbentuk silinder. Berat kayu pertama 18 kg. Kayu kedua memiliki diameter 2 kali diameter kayu pertama, tetapi panjangnya ½ panjang kayu pertama. Berapakah berat kayu kedua tersebut? Permasalahan tersebut di atas dapat diselesaikan dengan strategi heuristik sebagai berikut: A. Menyederhanakan masalah. B. Membuat diagram C. Membuat gambar D. Menentukan Pola

4. Lima orang anak pergi ke arena bermain dengan waktu kedatangan yang berbeda. Mereka datang bergantian setiap 5 menit. Ika datang 10 menit setelah Putri. Indra dan Tora sedang bermain jungkat-jungkit ketika Nabila datang. Putri sedang bermain ayunan ketika Indra datang. Tentukan urutan kedatangan kelima anak tersebut dari yang paling awal datang. Permasalahan tersebut di atas dapat diselesaikan dengan strategi heuristik sebagai berikut: A. Membuat gambar B. Menentukan Pola C. Menyatakan kembali masalah D. Memecah masalah menjadi sub bagian masalah

5. Seorang pedangan buah mempunyai buah semangka yang beratnya 2 kg dan 4 kg. Kedua jenis semangka tersebut dimasukkan ke dalam karung. Total berat semangka-semangka yang 2 kg sama dengan total berat semangka yang 4 kg. Jika jumlah semua semangka 24 buah, berapakah total berat semangk-semangka tersebut? A. 24 kg B. 36 kg  C. 64 kg  D. 48 kg

Hudojo, H, 2001, **Pengembangan Kurikulum dan Pembelajaran Matematika.** Malang: Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Negeri Malang. Kaur B, 2008. **//Problem Solving in the Mathematics Classroom (Secondary).//** Singapore: Foong Yuet Foong. Lam, T.Y, Seng, Q.K, Guang, T.E. 2008. **//Problem Solving in the Mathematics Classroom (Junior College)//**. Singapore: Foong Yuet Foong. Lenchner, G. 2005. **//Creative Problem Solving in School Mathematics//**. Bellmore, NY: Mathematicsal Olympiads for Elementary and Middle School s Inc. Leng, W.Ng. 2008. **//Problem Solving Heuristics For Primary School Mathematics. A Comprehensive Guide//**. Singapore: Printice Hall : Pearson. Skemp, R. 1992. The **//Psychology of Learning Mathematics//**. USA: Hazel Watson Ltd. Tim Supermath. 2007. **Strategi Pemecahan Masalah Matematika SD**. Jakarta: Literatur Media Sukses.
 * DAFTAR RUJUKAN**

**TES FORMATIF 1** 1. D 2. A  3. C  4. A  5. D
 * KUNCI JAWABAN TES FORMATIF**

**TES FORMATIF 2** 1. C 2. A  3. D  4. B  5. B  6. D

**TES FORMATIF 3** 1. B 2. B  3. A  4. D  5. C