Subunit+3-5

** Melihat Kembali dan Memperluas Masalah **
 * Sub-Unit 5 **

** Pendahuluan ** Setelah mendapatkan jawaban masalah, kemudian dibandingkan dengan tebakan jawaban yang telah ditemukan atau yang telah dipikirkan. Apakah jawaban itu masuk akal //(rasional)//? Benar atau salah, siswa atau //solver// harus mengecek, dan kembali pada pendekatan dan strategi yang digunakan dan atau mencari strategi lain untuk menemukan solusinya. ** Objektif Sub-Unit ** Setelah mempelajari materi pada subunit ini, diharapkan mahasiswa mempunyai kemampuan untuk: 1. Menjelaskan langkah melihat kembali masalah. 2. Menyatakan langkah dalam melihat kembali masalah. 3. Menyatakan cara memeriksa kebenaran jawaban yang telah diperoleh. ** 1.0 **** T **** ahap **** P **** emeriksaan **** K **** embali **** P **** roses dan **** H **** asil ** Setelah solusinya ketemu, siswa harus menerapkannya pada masalah untuk mengecek ulang, apakah kondisi masalah benar-benar ketemu?, “apakah asumsi yang dibuat benar?”, “apakah pertanyaannya sudah terjawab?”, ”apakah jawabannya hanya satu, atau ada yang lain?”. Pertanyaaan-pertanyaan tersebut sangat penting bagi siswa untuk merefleksikan proses penemuan solusi dan berpikir untuk mencari strategi lain yang cocok. Mereka (siswa) selanjutnya dapat menemukan bahwa permasalahan dapat diselesaikan dengan cara beda yang lebih efisien. Aktivitas atau kegiatan yang dapat dilakukan dalam langkah ini di antaranya adalah sebagai berikut: 1. Mengecek kembali jawaban yang telah didapat. Siswa diminta meneliti kembali, apakah tidak ada perhitungan yang salah? Apakah pekerjaannya telah cukup mudah diikuti uraiannya? Apakah semua fakta yang diketahui telah digunakan? Apakah jawaban yang didapat masuk akal? 2. Peningkatan strategi yang digunakan. Apakah strategi yang digunakan perlu disederhanakan sehingga terlihat jelas? Mintalah siswa membanding-kan jawaban mereka dengan jawaban temannya, adakah ide atau gagasan yang serupa? 3. Mencari penyelesaian alternatif. Adakah cara penyelesaian lain yang lebih menghemat waktu dalam perhitungannya? Adakah perhitungan yang terlalu rumit? Adakah penyelesaian alternatif yang lebih “elegan atau cantik”? 4. Melihat kemungkinan apakah strategi yang digunakan dapat digunakan untuk masalah lain? Langkah keempat dalam pemecahan masalah menurut Polya yaitu melihat kembali dan memperluas masalah. Pada tahap pemeriksaan kembali proses dan hasil //(looking back),// Polya menekankan pada bagaimana cara memeriksa kebenaran jawaban yang telah diperoleh. Prosedur yang harus diperhatikan adalah : 1. Dapatkah diperiksa kebenaran dari penyelesaian dengan memberikan sebuah sanggahan? 2. Dapatkah jawaban tersebut dicari dengan cara lain? 3. Dapatkah Anda melihat kebenaran dari penyelesaikan walaupun hanya dilihat sekilas saja dan tidak secara detail? 4. Dapatkah cara atau jawaban tersebut digunakan untuk soa-soal lain? Perhatikan kembali contoh pada subunit 1 sebelumnya. Contoh : (1) // Melihat kembali dan Memperluas masalah // Dari tabel melaksanakan rencana dalam contoh soal pada subunit 4 di atas dapat disimpulkan bahwa tidak mungkin ada gabungan satu atau beberapa nilai berikut: 9, 12, 15, 21, 24, 42, 57, 69, 75, dan 81; yang akan menghasilkan nilai 100. (2) // Melihat kembali dan Memperluas masalah // 2(45.000) + 4(40.000) = 90.000 + 160.000 = 240.000 (benar) 45.000 – 40.000 = 5.000 (benar) Masalah lebih umum dari soal yang diberikan adalah menentukan jumlah harga //m// baju dan //n// celana, maka dari soal di atas diperoleh harga masing-masing 1 baju Rp. 40.000,00 sedangkan 1 celana Rp.45.000,00 sehingga harga //m// baju dan //n// celana adalah //m// x 40.000 + //n// x 45.000. (3) // Melihat kembali dan Memperluas masalah // Metode yang digunakan secara matematis sudah benar sebab penjumlahan dapat dilakukan dalam urutan yang berbeda-beda, dan perkalian dapat dipandang sebagai penjumlahan berulang. Masalah lebih umum dari soal yang diberikan adalah menentukan jumlah //n// bilangan asli pertama, 1 + 2 + 3 + … + //n//, dengan //n// bilangan asli. Jika //n// merupakan bilangan genap, maka dengan menggunakan cara yang sama seperti sebelumnya didapat pasang bilangan yang masing-masing berjumlah //n// + 1. Dengan demikian, jumlah keseluruhan adalah 1 + 2 + 3 + … + //n// atau. Selanjutnya muncul pertanyaan : Bagaimana jika //n// = 101 atau secara umum //n// berupa bilangan ganjil? Apakah rumus tersebut masih berlaku? Untuk menyelesaikan masalah tersebut dapat juga dilakukan dengan menggunakan strategi berbeda antara lain melalui bantuan gambar geometri seperti pada gambar di bawah ini. Dari gambar tersebut dapa disimpulkan bahwa jumlah jumlah //n// bilangan asli pertama adalah.

   || || // n //
 * ||  //n//
 * ||||  || [[image:file:///C:/DOCUME%7E1/hayeap/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gif width="145" height="24"]] ||
 * || [[image:file:///C:/DOCUME%7E1/hayeap/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image011.gif width="131" height="18"]] ||^  ||
 * || [[image:file:///C:/DOCUME%7E1/hayeap/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image011.gif width="131" height="18"]] ||^  ||

 || || // n + 1 // **__ @ __** **__ Latihan 5.1 __**  1. Apa langkah keempat dalam pemecahan masalah matematika menurut Polya? Jelaskan !  2. Sebutkan aktivitas atau langkah yang dilakukan dalam melihat kembali dan memperluas masalah!  3. Sebutkan prosedur yang harus diperhatikan pada bagaimana cara memeriksa kebenaran jawaban yang telah diperoleh menurut Polya!  4. Berilah contoh melihat kembali dan memperluas masalah matematika yang dilakukan siswa SD! **__ Rangkuman __** Setelah mendapatkan jawaban masalah, benar atau salah, siswa atau //solver// harus mengecek, dan kembali pada pendekatan dan strategi yang digunakan dan atau mencari strategi lain untuk menemukan solusinya. Aktivitas atau kegiatan yang dapat dilakukan dalam langkah ini diantaranya adalah sebagai berikut: 1. Mengecek kembali jawaban yang telah didapat 2. Peningkatan strategi yang digunakan. 3. Mencari penyelesaian alternatif 4. Melihat kemungkinan apakah strategi yang digunakan dapat digunakan untuk masalah lain Pada tahap pemeriksaan kembali proses dan hasil //(looking back),// Polya menekankan pada bagaimana cara memeriksa kebenaran jawaban yang telah diperoleh. Prosedur yang harus diperhatikan adalah : 1. Dapatkah diperiksa sanggahannya? 2. Dapatkah jawaban tersebut dicari dengan cara lain? 3. Dapatklah Anda melihatnya secara sekilas? 4. Dapatkah cara atau jawaban tersebut digunakan untuk soa-soal lain? **__ F __** **__ Petunjuk Jawaban Latihan __** ** Latihan 5.1 ** 1. Setelah mendapatkan jawaban masalah, kemudian dibandingkan dengan tebakan jawaban yang telah ditemukan atau yang telah dipikirkan. Apakah jawaban itu masuk akal //(rasional)//? Benar atau salah, siswa atau //solver// harus mengecek, dan kembali pada pendekatan dan strategi yang digunakan dan atau mencari strategi lain untuk menemukan solusinya. 2. Aktivitas atau kegiatan yang dapat dilakukan dalam langkah ini diantaranya adalah (1) Mengecek kembali jawaban yang telah didapat. Siswa diminta meneliti kembali, apakah tidak ada perhitungan yang salah? Apakah pekerjaanya telah cukup mudah diikuti uraiannya? Apakah semua fakta yang diketahui telah digunakan? Apakah jawaban yang didapat masuk akal? (2) Peningkatan strategi yang digunakan. Apakah strategi yang digunakan perlu disederhanakan sehingga terlihat jelas? Mintalah siswa membandingkan jawaban mereka dengan jawaban temannya, adakah ide atau gagasan yang serupa? 3. Prosedur yang harus diperhatikan adalah : Dapatkah diperiksa sanggahannya? Dapatkah jawaban tersebut dicari dengan cara lain? 4. Seorang tukang kayu merancang meja berkaki 4 dan kursi berkaki 3. Pada suatu hari ternyata dia telah berhasil membuat meja dan kursi yang kalau dihitung ternyata jumlah kakinya berjumlah 43. Berapa banyak meja dan kursi yang telah dihasilkan pada hari itu? // Memahami masalah : // Diketahui : meja berkaki 4 dan kursi berkaki 3 kaki meja dan kursi berjumlah 43 Ditanyakan : banyak meja dan kursi yang telah dihasilkan // Membuat rencana : // Untuk memecahkan masalah, maka kita bisa menggunakan strategi membuat tabel. // Melaksanakan rencana // Untuk memecahkan masalah, maka kita bisa menggunakan strategi membuat tabel sebagai berikut : Kalau kita melihat langkah di atas, tampak bahwa setelah empat langkah pertama, tampak terlihat adanya suatu pola. // Melihat kembali dan memperluas //// masalah // Kalau kita melihat langkah di atas, tampak bahwa setelah empat langkah pertama, tampak terlihat adanya suatu pola. Akan tetapi, mengingat bilangannya kecil, sebenarnya tanpa menemukan pola, dengan membuat tabel kita bisa memecahkan masalah. **__ @ __** **__ TES FORMATIF 5 __** Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1. Langkah keempat dalam pemecahan masalah menurut Polya yaitu … A. // looking back // B. // understanding the problem // C. // carrying out the plan // D. // devising a plan // 2. Siswa atau //solver// harus mengecek, dan kembali pada pendekatan dan strategi yang digunakan dan atau mencari strategi lain untuk menemukan solusinya. Setelah solusinya ketemu, siswa harus menerapkannya pada masalah untuk mengecek ulang, apakah kondisi masalah benar-benar ketemu?, “apakah asumsi yang dibuat benar?”, “apakah pertanyaannya sudah terjawab?”, ”apakah jawabannya hanya satu, atau ada yang lain?”. Pertanyaaan-pertanyaan tersebut sangat penting bagi siswa untuk … A. merefleksikan proses penemuan solusi dan berpikir untuk mecari strategi lain yang cocok B. merefleksikan solusi dan berpikir strategi lain yang cocok C. membuat kesimpulan yang sesuai D. melakukan proses yang benar 3. Menguasai berbagai macam heuristik merupakan modal bagi siswa dalam pemecahan masalah. Hal tersebut akan … A. membantu mengurangi kepercayaan diri siswa dalam kemampuan ketrampilan B. membantu menambah semangat rendah diri siswa dalam kemampuan matematikanya C. membantu menambah motivasi diri siswa dalam kemampuan matematikanya, dan ketrampilan yang beralasan D. membantu menambah kepercayaan diri siswa dalam kemampuan matematikanya, dan ketrampilan yang beralasan 4. Aktivitas atau kegiatan yang dapat dilakukan dalam langkah melihat kembali dan memperluas wawasan diantaranya adalah … A. Mengecek kembali masalah yang telah didapat B. Peningkatan strategi yang digunakan C. Mencari alternatif masalah lain D. Melihat kemungkinan masalah lain 5. Pada tahap pemeriksaan kembali proses dan hasil //(looking back),// Polya menekankan pada bagaimana cara memeriksa kebenaran jawaban yang telah diperoleh. Prosedur yang harus diperhatikan adalah … A. Dapatkah diperiksa kesalahannya? B. Dapatkah jawaban tersebut dicari solusinya? C. Dapatklah Anda melihat cirri-cirinya? D. Dapatkah cara atau jawaban tersebut digunakan untuk soa-soal lain? 6. Empat ekor itik dapat menghasilkan 5 butir telur dalam waktu 3 hari. Berapakah waktu yang diperlukan satu lusin itik untuk menghasilkan 5 lusin telur dengan kecepatan yang sama? Melihat kembali jawaban dari masalah di atas yang benar adalah ...    A. Jawaban 12 hari masuk akal karena untuk menghasilkan 64 butir telur membutuhkan waktu 4 kali dari waktu yang deketahui, yaitu 4 x 3 hari = 12 hari B. Jawaban 12 hari masuk akal karena untuk menghasilkan 60 butir telur membutuhkan waktu 4 kali dari waktu yang deketahui, yaitu 4 x 3 hari = 12 hari C. Jawaban 16 hari masuk akal karena untuk menghasilkan 60 butir telur membutuhkan waktu 4 kali dari waktu yang deketahui, yaitu 4 x 4 hari = 16 hari D. Jawaban 18 hari masuk akal karena untuk menghasilkan 60 butir telur membutuhkan waktu 4 kali dari waktu yang deketahui, yaitu 4 x 5 hari = 18 hari 7. Seutas tali dipotong separuh untuk dibagi kepada dua pemilik tanah. Seorang pemilik memerlukan 2/3 nya untuk mengikat anjingnya. Sisa dari untuk mengikat anjing tersebut adalah 1 meter. Berapa panjang tali mula-mula? Melihat kembali penyelesaian masalah di atas yang benar adalah ...   A. 6 : 2 = 3 m, 3 x 1/3 = 1 m adalah sisa dari tali untuk mengikat anjing (benar) B. 6 : 2 = 3 m, 3 x 2/3 = 2 m adalah panjang tali untuk mengikat anjing (benar) C. 6 : 2 = 3 m, 3 x 3/3 = 3 m adalah panjang tali untuk mengikat anjing (benar) D. 6 : 3 = 2 m, 2 x 1/2 = 1 m adalah sisa dari tali untuk mengikat anjing (benar) 8. Seorang tukang buah membandingkan berat buah rambutan, jeruk, dan anggur. Tiga buah rambutan sama beratnya dengan satu buah jeruk. Satu buah jeruk sama beratnya dengan sembilan buah anggur. Berapa banyak buah anggur yang sama berat dengan satu buah rambutan? Melihat kembali penyelesaian masalah yang benar dari soal di atas adalah ...   A. Substitusi kembali hasil kali yang diperoleh yaitu //x// = 3//z// ke persamaan 3//x// = //y//, akan diperoleh 3(3//z//) = //y//, 9//z// = //y// B. Substitusi kembali hasil kali yang diperoleh yaitu //x// = 2//z// ke persamaan 3//x// = //y//, akan diperoleh 3(2//z//) = //y//, 6//z// = //y// C. Substitusi kembali hasil kali yang diperoleh yaitu //x// = //z// ke persamaan 3//x// = //y//, akan diperoleh 3(//z//) = //y//, 3//z// = //y// D. Substitusi kembali hasil kali yang diperoleh yaitu 3//x// = //z// ke persamaan 3//x// = //y//, akan diperoleh 3(3//z//) = //y//, 9//z// = //y// 9. Seorang arsitek memperkirakan bahwa pembangunan suatu gedung akan selesai dalam 120 hari kemudian. Jika pembangunan gedung dimulai pada hari Jumat, pada hari apakah gedung tersebut selesai dibangun? Melihat kembali penyelesaian masalah yang benar dari soal di atas adalah ...   A. Benar bahwa 119 merupakan kelipatan 7, maka hari ke-119 kemudian adalah hari Senin. Jadi 120 hari kemudian adalah hari Selasa. B. Benar bahwa 119 merupakan kelipatan 7, maka hari ke-119 kemudian adalah hari Rabu. Jadi 120 hari kemudian adalah hari Kamis. C. Benar bahwa 119 merupakan kelipatan 7, maka hari ke-119 kemudian adalah hari Kamis. Jadi 120 hari kemudian adalah hari Jumat. D. Benar bahwa 119 merupakan kelipatan 7, maka hari ke-119 kemudian adalah hari Jumat. Jadi 120 hari kemudian adalah hari Sabtu. 10. Diberikan dua bilangan, yaitu 2007 dan 7002. Lena memilih salah satu bilangan dan mengalikannya dengan 2211, sedangkan Olga memilih bilangan yang satu lagi dan mengalikannya dengan 1122. Jumlah dari kedua hasil perkalian adalah bilangan genap. Bilangan mana yang dipilih Olga? Melihat kembali penyelesaian dari masalah di adalah ...   A. Lena = 7002 x 2211 = genap Olga = 2007 x 1122 = ganjil Jumlah = genap B. Lena = 7002 x 2211 = genap Olga = 2007 x 1122 = genap Jumlah = ganjil C. Lena = 7002 x 2211 = genap Olga = 2007 x 1122 = genap Jumlah = genap D. Lena = 7002 x 2211 = ganjil Olga = 2007 x 1122 = genap Jumlah = genap Gagne, R.M., 1970, //The Conditions of Learning//, New York, Holt, Rinehart and Winston Inc. Hudoyo, H. 1990. //Strategi mengajar belajar matematika.// Malang: IKIP Malang. Lovit, C&Lowe, I. 1992. //Problem solving in mathematics//: Chance and data. In M. Horne and m. Supple (Eds) //Mathematics Meeting the Challenge// (pp. 46-52). Mebourne; The Mathematical Association of Victoria. 1992   Musser, G. L. & Shaughnessy, J.M. 1980. Problem-solving strategies in school mathematics. In S. Krulik and R.E. Reys (Eds) ,1980. Yearbook. //Problem-solving in school mathematics// (pp. 136-145). Virginia: NCTM. Musser, G.L. and Burger, W.F. 2006. Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach. Seventh Edition. USA: John Wiley & Sons, Inc
 * ||  //n//
 * __ DAFTAR RUJUKAN __**