Subunit+7-2

**Menyederhanakan Masalah**
 * Sub-Unit 7.2**

**Pendahuluan** Subunit ini akan membahas tentang menyederhanakan masalah dalam pemecahan masalah beserta contoh penyelesaiannya. Menyederhanakan masalah merupakan salah satu dari pemecahan masalah matematika yang tidak rutin, sehingga perlu ada suatu teknik penyelesaian yang tepat. Penguasaan prinsip-prinsip dasar dalam pemecahan masalah harus benar-benar ditaati untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan menyederhanakan masalah.

**Objektif Sub-Unit** Setelah mempelajari materi pada subunit ini, diharapkan mahasiswa mempunyai kemampuan untuk: 1. Menggunakan teknik menyederhanakan masalah untuk pemecahan masalah matematika.

**1.0 Teknik Menyederhanakan Masalah** Strategi pemecahan masalah dengan menyederhanakan masalah ini dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah matematika. Dengan mencobakan pada masalah yang lebih sederhana, kemudian setelah didapatkan solusinya yang berupa pola penyelesaian masalah yang sederhana ini, Anda dapat menggunakannya untuk penyelesaian masalah yang lebih rumit. Sehingga untuk pemecahan masalah ini diperlukan pemahaman cara menyederhanakan masalah yang kompleks ke dalam masalah yang lebih sederhana. Jika sudah ditemukan satu pola penyelesaian saja dapat digunakan untuk mendapatkan penyelesaian masalah yang ingin dipecahkan. Perhatikan contoh berikut:

**1.** **__Mencari nilai satuan suatu perpangkatan bilangan.__** Tentukan angka satuan 3777! Agar masalah ini dapat dipecahkan dengan mudah oleh siswa, maka diperlukan suatu strategi pemecahan masalah, yang pertama memahami masalah dengan memahami apa yang diketahui yaitu 3777 yang artinya 3 dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak 777 kali. Untuk penyelesaiannya dapat dilakukan dengan menyederhanakan masalah melalui cara sebagai berikut: a) Menemukan pola lebih dahulu dan dicobakan pada bentuk yang lebih sederhana. 31 = 3 angka satuannya 3  32 = 9 angka satuannya 9  33 = 27 angka satuannya 7  34 = 81 angka satuannya 1  35 = 243 angka satuannya 3  36 = 729 angka satuannya 9  37 = 2187 angka satuannya 7  38 = 6561 angka satuannya 1

Pola angka satuannya:

Pola angka satuannya berulang setiap empat kali.

b) Untuk menentukan angka satuan dar 3777, maka harus diketahui sisa pembagian 777 oleh 4. 777 : 4 = 194 sisa 1. Ini berarti angka satuan dari 3 777 sama dengan angka satuandari 31, yaitu 3. Apakah jawaban ini benar atau masuk akal, maka perlu dilakukan pengecekan kembali jawaban dengan mencocokkan sisa dari 777 : 4 adalah 1, berarti 31 = 3

**2.** **__Bidak Catur__** Berapakah banyaknya persegi yang berbeda pada papan catur 8 x 8?  Pada papan catur, banyak orang menghitungnya bahwa kotak (persegi) kecil adalah **64.** Perlu diingat bahwa papan catur tersebut terdiri dari persegi dengan ukuran 1x1, 2x2, 3x3,. . ., 8x8. Bagaimana Anda menghitungnya? Pada papan catur, banyak orang menghitungnya bahwa kotak (persegi) kecil adalah **64.** Perlu diingat bahwa papan catur tersebut terdiri dari persegi dengan ukuran 1x1, 2x2, 3x3,. . ., 8x8. Bagaimana Anda menghitungnya?



 Lebih sederhananya, perhatikan Gambar seri berikut.  Lebih sederhananya, perhatikan Gambar seri berikut.

bih sederhananya, perhatikan Gambar seri berikut.

Maksud dari gambar adalah: 1x1 artinya persegi dengan ukuran 1x1 2x2 artinya persegi dengan ukuran 2x2 3x3 artinya persegi dengan ukuran 3x3 4x4 artinya persegi dengan ukuran 4x4

__Contoh (1):__ Temukan banyak persegi pada gambar susunan persegi //(chekerboard)// 3 x 3 berikut.





__Contoh (2):__  Temukan banyak persegi pada gambar susunan persegi //(chekerboard)// 4 x 4 berikut.  Temukan banyak persegi pada gambar susunan persegi //(chekerboard)// 4 x 4 berikut. Temukan banyak persegi pada gambar susunan persegi //(chekerboard)// 4 x 4 berikut:





Dari memperhatikan 2 (dua) contoh tersebut, maka hasil untuk menentukan banyaknya persegi pada susunan persegi 5x5, dapat ditunjukkan pada tabel berikut. Perlu diperhatikan bahwa: 1 = 12, 4 = 22, 9 = 33, dan 16 = 42.


 * **Banyak persegi pada susunan persegi //(chekerboard)//** ||
 * **__Ukuran persegi__** |||||||| Type susunan persegi //(chekerboard)// ||
 * ^  || **__1x1__** || **__2x2__** || **__3x3__** || **__4x4__** ||
 * 1x1 || 1 || 4 || 9 || 16 ||
 * 2x2 || || 1 || 4 || 9 ||
 * 3x3 || ||  || 1 || 4 ||
 * 4x4 || ||  ||  || 1 ||
 * **//Total//** || **1** || **5** || **14** || **30** ||

Dengan demikian Anda dapat menentukan bahwa banyak persegi pada susunan persegi papan catur adalah: 82 + 72 + 62 + 52 + 42 + 32 + 22 + 12 = 204
 * ** Banyak persegi pada susunan persegi //(chekerboard)// ** ||
 * **__ Ukuran persegi __** ||||||||||   Type susunan persegi //(chekerboard)//   ||
 * ^  ||  **__ 1x1 __**  ||  **__ 2x2 __**  ||  **__ 3x3 __**  ||  **__ 4x4 __**  ||  **__ 5x5 __**  ||
 * 1x1  ||   12   ||   22   ||   32   ||   42   ||   52   ||
 * 2x2  ||     ||   12   ||   22   ||   32   ||   42   ||
 * 3x3  ||     ||     ||   12   ||   22   ||   32   ||
 * 4x4  ||     ||     ||     ||   12   ||   22   ||
 * 5x5  ||     ||     ||     ||     ||   12   ||
 * **// Total //** ||  ** 1 **  ||  ** 5 **  ||  ** 14 **  ||  ** 30 **  ||  ** 55 **  ||

**__ @ __** **__ Latihan 2.1 __** Untuk memantapkan pemahaman Saudara terhadap materi di atas, coba kerjakan latihan di bawah ini!  1. Berapa jumlah 100 bilangan gasal yang pertama ?  2. Berapa jumlah sudut dalam dari suatu segi lima? 3. Berapa angka satuan dari 7100?

**__ Rangkuman __** Salah satu strategi pemecahan masalah matematika adalah dengan cara menyederhanakan masalah, hal ini dapat dilakukan dengan membagi atau mengubah masalah menjadi lebih sederhana sehingga dapat dengan segera dipecahkan atau diselesaikan. Dengan menggunakan jawaban masalah yang sederhana tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah yang lebih rumit.

**__ Petunjuk Jawaban Latihan __** ** Latihan 2.1 ** 1. Guna penyelesaian masalah, dilakukan dengan menyederhanakan masalah mulai dari masalah yang sederhana kemudian ditemukan polanya. 1 + 3 = 4   1 + 3 + 5 = 9    1 + 3 + 5 + 7 = 16    1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25    Dilihat dari pola penjumlahan bilangan gasal tersebut dapat ditemukan sebagai bilangan kuadrat dari banyaknya bilangan yang dijumlahkan. Oleh karena itu banyaknya bilangan yang dijumlahkan mulai dari __1+199__ = 100 bilangan. 2   Sehingga diperoleh 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + 199 = 1002 = 10000 Jadi jumlah 100 bilangan gasal yang pertama = 10000. 2. Untuk menyelesaikan masalah ini, digunakan strategi penyederhanaan masalah dengan menggunakan ukuran sudut dalam sebuah segitiga, yaitu 1800.



Kemudian dua segitiga digabung menjadi segi empat, atau sebaliknya, segiempat terbentuk dari 2 segitiga, yaitu ukuran sudut dalamnya = 2 x 1800 = 3600



Selanjutnya segilima terbentuk dari 3 segitiga, sehingga jumlah ukuran sudut dalamnya menjadi 3 x 1800 = 5400



Dari pola penyelesaian secara sederhana ditemukan bahwa ukuran sudut dalam sebuah segilima = 5400.

1. Untuk menentukan bilangan satuan dari 7101, penyelesaian masalahnya dilakukan dengan menyederhanakan masalah seperti berikut: 70 = 1   71 = 7    72 = 49    73 = 343    74 = 2401    75 = 16807    76 = 117649    77 = 823543    78 = ...    Pola bilangan satuan dari perpangkatan 7 sebagai berikut: 1, 7, 9, 3, 1, 7.. 9, 3, ... Sehingga 101 : 4 = 25, sisa 1, maka 7101 = ...1 Dengan demikian 7101 = …1. Jadi bilangan satuan pada 7101 adalah 1. **__ @ __** **__ TES FORMATIF 2 __** Untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi pemecahan masalah matematika sub unit 2, kerjakan tes formatif ini dengan memberikan tanda silang pada huruf di depan alternatif jawaban yang telah disediakan. 1. Berapa paling banyak titik potong yang dapat dibentuk dari 50 garis lurus? A. 225 titik potong B. 255 titik potong C. 1225 titik potong D. 2125 titik potong 2. Jika dari setiap titik pada bangun datar dapat ditarik suatu diagonal. Berapa banyak diagonal yang dapat ditarik dari satu titik pada Segi-15? A. 72 diagonal B. 85 diagonal C. 44 diagonal D. 90 diagonal 3. Jika 92 = 81, maka berapakah bilangan satuan yang terdapat pada hasil 9999999992? A. 9 B. 8 C. 7 D. 1 4. Jika setiap dua titik yang berbeda ada satu dan hanya satu garis. Berapa banyak garis yang dapat dibuat dari 50 titik? A. 1222 B. 1225 C. 1252 D. 1522

1. Jika terdapat 15 titik yang berbeda, berapa banyaknya daerah segitiga yang terbentuk dari diagonal yang ditarik dari satu titik pada bangun Segi-15 tersebut? A. 12 B. 13. C. 14 D. 15

 Pada papan catur, banyak orang menghitungnya bahwa kotak (persegi) kecil adalah **64.** Perlu diingat bahwa papan catur tersebut terdiri dari persegi dengan ukuran 1x1, 2x2, 3x3,. . ., 8x8. Bagaimana Anda menghitungnya?