Subunit+8-1


 * Sub-Unit 8.1**
 * Induksi Matematika**

**Pendahuluan** Sub-Unit ini akan membahas tentang //induksi matematika.// Dalam kehidupan sehari-hari sering orang menarik kesimpulan secara induktif, pada hal penarikan kesimpulan secara induktif tidak selalu benar. Untuk pembuktian kebenaran dalam matematika secara formal salah satu cara yaitu menggunakan induksi matematika.

**Objektif Sub-Unit** Setelah mempelajari materi pada subunit ini, diharapkan mahasiswa mempunyai kemampuan untuk: 1. Menjelaskan dan menggunakan teknik induksi matematika untuk pemecahan masalah matematika.

**1.0 Teknik Induksi Matematika** Perhatikan contoh berikut: Bagaimanakah caranya menjumlahkan n bilangan ganjil yang pertama? 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + . . . Perhatikan pola penjumlahan berikut: S1 = 1 = 1 = 12 S2 = 1 + 3 = 4 = 22 S3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 32 S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 Secara umum diduga jumlah n suku pertama bilangan ganjil Sn = n2, sehingga (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + . . .+ (2n-1) = n2

Apakah dugaan tersebut benar untuk setiap bilangan asli n? Untuk meyakinkannya maka perlu dibuktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan asli n N, (N himpunan bilangan asli). Untuk membuktikan apakah berlaku untuk setiap bilangan asli n digunakan pembuktian dengan induksi matematika. Pembuktian ini dimulai dari apakah pernyataan atau rumus berlaku untuk bilangan 1 karena 1 adalah bilangan asli terkecil. Jika pernyataan atau rumus itu berlaku untuk sebarang bilangan asli, maka harus berlaku untuk bilangan yang lebih dari bilangan asli tersebut. Berarti jika rumus berlaku sebarang bilangan asli n=k, dan benar untuk n=k+1, sehingga rumus berlaku untuk sebarang bilangan asli. Adapun cara pembuktiannya sebagai berikut: Jika suatu pernyataan atau rumus (dalam n) bersifat: (i) benar untuk n = 1, (ii) jika benar untuk n = k, harus benar untuk n = k+1, maka rumus tersebut berlaku untuk n N  **__Contoh 1__** Buktikan 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 +. . .+ (2n-1)= n2, untuk setiap n bilangan asli. **__Penyelesaian:__** Sn : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 +. . .+ (2n-1)= n2 Harus dibuktikan benar untuk n = 1 S1 : 1 = 12 .............( ternyata benar untuk n = 1) Andaikan berlaku untuk n=k, harus dibuktikan berlaku untuk n= k+1. Anggap n =k berlaku, berarti Sk: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 +. . + (2k – 1) = k2 Untuk n= k+1, berlaku = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + ... + 2k -1 + 2(k + 1) - 1 = k2 + 2(k+1) -1= k2+ 2k+2 – 1= k2+ 2k+1= (k+1)2, ternyata benar untuk n=k+1 Sehingga Sn berlaku untuk setiap n bilangan asli.

Contoh 2:





**__ F __** **__ Petunjuk Jawaban Latihan __**



**__ @ __** **__ TES FORMATIF 1 __** Buktikan dengan induksi matematika pernyataan berikut benar untuk setiap n bilangan asli